Abstract
The aim of this paper is the prediction of “time optimal trajectories” of the center of mass of an alpine ski racer who moves from an upper point A toward a lower point B, utilizing the fundamental laws of mechanics. The level of the racer is taken into account by introducing an implicit and an explicit damping term in the equations of motion (the former being described by its effects on the racer’s velocity, rather than by an explicit analytical expression). We find that the optimal trajectory AB is always a part of a cycloide curve, which appears more or less flat, according to the initial velocity of the ski racer at point A. This curve is shown to be very close to a parabol which, in all realistic cases concerning giant slalom (GS), may actually be itself approximated by the portion of straight line AB. We conclude that the best trajectory tactics in GS, practically in all cases of slopes, consists in going straight to the gate pole and there turning “short-and-fast” when reaching the pole. This leads us to the conclusion that there should exist an “absolute optimal trajectory” – following a recent suggestion of the french ski trainer J. L. Monjo, we propose to call it the “Z-trajectory” – in which the above-mentioned short turns at the gates are replaced by basic unavoidable trajectory orientation discontinuities, which actually link the adjacent upper and lower linear trajectory segments.
Zusammenfassung
Ziel dieses Artikels ist es, die physikalischen Gesetze der Dynamik des Schwerpunktes zu erforschen, die einem Schifahrer erlauben, auf einem gleichförmigen Abhang und entlang einer “optimalen” Bahn die Distanz von A (oben) bis B (unten) in minimaler Zeit zu durchfahren. Dem Niveau des Schifahrers wird durch einen Dämp-fungskoeffizienten Rechnung getragen, implizit modulierbar (durch seine Wirkung auf die Geschwindigkeitskurve) oder explizit (durch eine analytische Formulierung des Koeffizienten in den Gleichungen der Bewegung). Die optimale Bahn A-B ist immer Teil einer Zykloide, mehr oder minder gestreckt, je nachdem ob die Ausgangs-geschwindigkeit bei A größer oder kleiner ist. Es wird gezeigt, daß sie mathematisch über einen Parabelteil approximiert werden kann, der in allen realistischen Slaloms und Riesenslaloms dem Geraden-Segment AB nahekommt. Daraus wird geschlossen, daß die beste „Fahrt-Strategie“ für Slalom und Riesenslalom (und das auf allen Abhängen) in der Alltagssprache mit „Gerade-Ziehen – Kurz-Wenden“ umschrieben werden kann. Es wird schließlich vorausgesagt, daß es eine „absolut optimale Bahn“ gibt (wenn das Niveau des Schifahrers an Perfektion grenzt) – die nach dem französischen Skitrainer J. L. Monjo sogenannte „Z-Bahn“ –, bei der die kurzen Kurven des „G-Z-K-W“ durch noch kürzere unvermeidbare Richtungs-Diskontinuitäten ersetzt werden. Die Leistung des Slalom- bzw. Riesenslalomläufers wird durch Einhaltung der Z-Bahn grundlegend verbessert.
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